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Jun 09, 2023

Un tornillo de Arquímedes para la luz

Nature Communications volumen 13, número de artículo: 2523 (2022) Cite este artículo 3980 Accesos 12 Citas 3 Detalles de métricas altmétricas Una corrección del editor a este artículo se publicó el 3 de agosto

Nature Communications volumen 13, número de artículo: 2523 (2022) Citar este artículo

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Detalles de métricas

Se publicó una corrección del editor a este artículo el 3 de agosto de 2022.

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Un tornillo de Arquímedes captura agua y le aporta energía elevándola a un nivel superior. Presentamos la primera instancia de un Tornillo de Arquímedes óptico y demostramos cómo este sistema es capaz de capturar la luz, arrastrarla y amplificarla. Revelamos nuevas soluciones analíticas exactas a las ecuaciones de Maxwell para una amplia familia de medios espacio-temporales quirales y mostramos su potencial para lograr una amplificación quiral selectiva dentro de fases de paridad-tiempo rotas ampliamente sintonizables. Nuestro trabajo, que puede implementarse fácilmente mediante experimentos con sondas de bombeo con haces polarizados circularmente, abre una nueva dirección en la física de los medios que varían en el tiempo al fusionar el creciente campo de los metamateriales espacio-temporales y el de los sistemas quirales, y ofrece una nueva campo de juego para la fotónica topológica y no hermitiana, con aplicaciones potenciales a la espectroscopía y la detección quiral.

Los aspectos fundamentales de las interacciones de las ondas en sistemas dependientes del tiempo han atraído recientemente un renovado interés gracias al descubrimiento de materiales ultrafinos y altamente no lineales. Liberados de limitaciones como la reciprocidad y la conservación de energía, estos sistemas pueden permitir comportamientos de ondas nuevos y exóticos. En este trabajo abrimos una nueva dirección en el creciente campo de los metamateriales espacio-temporales al fusionarlos por primera vez con el campo establecido de los sistemas quirales, realizando el análogo electromagnético del famoso tornillo de Arquímedes para fluidos.

La importancia de los medios variables en el tiempo para la manipulación de ondas surgió de varias propuestas en medio de la búsqueda de una década para lograr la no reciprocidad sin imanes tanto en fotónica1,2,3 como con ondas mecánicas4,5. La estructuración temporal de la materia abre varias vías nuevas para el control de las ondas: las modulaciones periódicas de los parámetros del material pueden permitir el diseño de fases topológicamente no triviales6, así como aisladores topológicos Floquet7 y aisladores topológicos con dimensiones de frecuencia sintética8. Además, la adaptación adecuada de la dependencia temporal de los elementos reactivos puede permitir la acumulación arbitraria de energía9, mientras que la introducción de elementos no hermitianos modulados en el tiempo puede conducir a una dirección de modo y ganancia no recíprocas10, así como a un encubrimiento de eventos y una absorción perfecta11, y Acoplamiento de ondas superficiales en interfaces espacialmente planas12. En sistemas no periódicos, la conmutación abrupta es la clave para nuevas direcciones, como la inversión del tiempo13, la refracción del tiempo14 y el enrutamiento de ondas inducido por anisotropía15, así como la conversión de frecuencia16,17,18, la mejora del ancho de banda19 y la localización de Anderson20.

Además, a partir de la combinación de grados de libertad espacial y temporal, los metamateriales espacio-temporales, cuyos parámetros se modulan en forma de onda viajera21,22,23,24,25, han adquirido recientemente un impulso renovado tanto por razones fundamentales como por permiten imitar y generalizar el movimiento físico más allá de las restricciones relativistas comunes, lo que lleva a la resistencia óptica26, la localización27 y nuevos mecanismos de amplificación28,29, y para aplicaciones prácticas como la generación de armónicos30, la dirección del haz31 y la combinación de potencia de múltiples fuentes32. Los experimentos exitosos con modulación espaciotemporal incluyen trabajos en acústica5,7,33 y elasticidad34, microondas3,30, en el infrarrojo35 e incluso en sistemas difusos36, y recientemente han comenzado a acercarse al dominio óptico37 gracias a la introducción de nuevos materiales altamente no lineales como como ITO38 y AZO39. Finalmente, recientemente se han desarrollado esquemas de homogeneización para metamateriales tanto temporales40,41 como espaciotemporal42.

Un campo de investigación multidisciplinario, establecido desde hace más tiempo, pero todavía desenfrenado, es el de los sistemas quirales (observamos que el término "quiral" también se usa para designar un medio con acoplamiento bianisotrópico. Sin embargo, aquí solo nos referimos a su carácter helicoidal, y propiedades de dicroísmo circular asociadas). Debido a sus aplicaciones tecnológicas cruciales, que van desde la tecnología de visualización hasta la espectroscopia y la biodetección, el estudio matemático de los sistemas electromagnéticos quirales se remonta a varias décadas43, y las observaciones experimentales de la actividad óptica se remontan mucho más atrás a las primeras observaciones de Biot y Pasteur en el siglo XIX44. . Las teorías de los medios quirales se han aplicado con éxito al estudio de cristales líquidos colestéricos45, así como a una variedad de estructuras naturales46 y, desde la llegada de los metamateriales, a la refracción negativa47,48,49, la banda ancha y la actividad óptica mejorada50, la transmisión asimétrica51, 52,53 y, más recientemente, topología54.

En este trabajo, combinamos los ingredientes esenciales de estos dos temas dominantes de la escena metamaterial actual, la quiralidad y la modulación del tiempo, para proponer la primera instancia de metamateriales espacio-temporales quirales, realizando el análogo electromagnético del famoso Tornillo de Arquímedes para fluidos. . Al desarrollar nuestro modelo analítico exacto para una amplia clase de estos sistemas, descubrimos soluciones analíticas de forma cerrada para las ecuaciones de Maxwell y las utilizamos para demostrar el potencial de estas estructuras para la amplificación quiral selectiva resultante de fases rotas en tiempo de paridad (PT). . La riqueza de nuestro modelo analítico allana el camino para futuros estudios sistemáticos de los medios espacio-temporales quirales como un nuevo campo de juego para la física topológica y no hermitiana, y puede realizarse en un futuro próximo tanto en óptica como mediante experimentos con sondas de bombeo circulares. haces de bomba polarizados y en RF, con elementos de circuito no lineales.

Considere un medio con los siguientes tensores de permeabilidad y permitividad anisotrópica:

donde \(\hat{{{{{{\bf{x}}}}}}}\) y \(\hat{{{{{{\bf{y}}}}}}}\) son unidades vectores en el plano perpendicular al eje de propagación del tornillo, 2α es la amplitud de modulación del parámetro electromagnético respectivo, ε1 y μ1 son la permitividad y permeabilidad de fondo del medio, y la matriz de rotación

describe (c = “cos” y s = “sin”) la operación de atornillado a lo largo de la variable espaciotemporal θ± = gz − Ωt ± ϕ. Tenga en cuenta que hemos elegido unidades tales que ε0 = μ0 = c0 = 1. El número de onda g y la frecuencia Ω de la modulación definen la velocidad del tornillo vs = Ω/g, y los componentes eléctricos y magnéticos del tornillo están separados por un desfase 2ϕ , de modo que el sistema tiene impedancia adaptada en todas partes si αε = αμ y ϕ = 0. La Figura 1(b) representa la punta de los ejes principales (vectores propios) \(\overrightarrow{\delta \varepsilon }\) y \(\ overrightarrow{\delta \mu }\) de la parte modulada de los tensores del material para ϕ = 0, que corresponden a las respectivas coordenadas de atornillado:

La forma completa de los tensores materiales es:

a Un tornillo de Arquímedes mecánico transporta fluidos desde un terreno inferior a un terreno superior56. b Un tornillo óptico es un medio cuyos tensores de permitividad y permeabilidad están modulados de manera que los ejes principales \(\overrightarrow{\delta \varepsilon }\) y \(\overrightarrow{\delta \mu }\) de su modulación describen dos hélices. . Además, en nuestro modelo permitimos un desfase 2ϕ entre las dos modulaciones. Para desfase cero (ϕ = 0), en θ = gx − Ωt = 0, \(\overrightarrow{\delta \varepsilon }\) apunta a lo largo del eje x mientras que \(\overrightarrow{\delta \mu }\) puntos a lo largo del eje y. Para un desfase finito ϕ ≠ 0, las dos modulaciones se desplazan hacia adelante y hacia atrás en el espacio-tiempo 2ϕ, de modo que su diferencia de fase total es 2ϕ.

Para simplificar, suponemos que estamos trabajando en un régimen donde la dispersión material es insignificante y nos centramos en el caso de incidencia normal kx = ky = 0. Para escribir un problema de valores propios para las frecuencias propias ω(k), utilizamos las ecuaciones de Maxwell. para el campo de desplazamiento D y la inducción magnética B:

Para buscar una solución analítica para la incidencia normal, transformamos nuestros campos en una nueva base dependiente de las coordenadas de campos que se propagan hacia adelante ( ⇀ ) y hacia atrás ( ↼ ):

que siguen la simetría del tornillo (\(x^{\prime} \), \(y^{\prime} \)) del sistema. Aquí \({\bar{B}}_{x/y}=\sqrt{{\varepsilon }_{1}/{\mu }_{1}}{B}_{x/y}={B }_{x/y}/{Z}_{1}\), donde Z1 es la impedancia de onda del medio de fondo. Sorprendentemente, gracias a esta operación de simetría podemos absorber completamente en los nuevos campos de base la dependencia θ de las ecuaciones de Maxwell inducida por la modulación de tornillo, de modo que el sistema infinito de ecuaciones acopladas se desacople en bloques independientes de 4 por 4 para cualquier desfase ϕ. (ver SM para más detalles). Al asumir un ansatz de Floquet-Bloch Ψ = ei(kz−ωt)∑mamei(2m−1)(gz−Ωt), donde \(m\in {\mathbb{Z}}\), cada 4 por 4 El bloque se puede escribir como un problema de valores propios para el enésimo conjunto de cuatro bandas:

donde n = 2m − 1 es un número entero impar, y las cuatro matrices de 2 por 2 \({\mathbb{M}}\) que acoplan ondas hacia adelante y hacia atrás se dan en forma cerrada en el SM, junto con una derivación detallada de la transformación de base. La motivación para la forma armónica doblemente periódica de esta expansión de Fourier es que, debido a las funciones trigonométricas al cuadrado en las Ecs. (5)–(6) el período espaciotemporal real del sistema se reduce a la mitad. Además, la presencia de las funciones trigonométricas de θ en nuestros campos de base modificados implica un desplazamiento e±i(gz−Ωt) existente, que debe tenerse en cuenta en nuestro ansatz para tener en cuenta todos los componentes pares de Fourier. Vale la pena señalar que la posibilidad de diagonalizar el problema en bloques de esta manera es inusual para un cristal fotónico. Se debe al hecho de que, a diferencia de las simetrías discretas presentes en un cristal convencional, la simetría de tornillo es una simetría continua. Por lo tanto, el cambio inducido en los campos por una perturbación infinitesimal que respeta esta simetría siempre puede recuperarse aplicando la misma operación de simetría a los campos mismos, que es la esencia de las ecuaciones. (8)–(11).

En el caso de impedancia adaptada (αε = αμ y ϕ = 0), el sistema de 4 por 4 anterior desacopla aún más las ondas que se propagan hacia adelante y hacia atrás, de modo que las matrices fuera de la diagonal \({{\mathbb{M}} }_{\leftharpoonup {,}_{n}}^{\rightharpoonup }\) y \({{\mathbb{M}}}_{\rightharpoonup {,}_{n}}^{\leftharpoonup }\ ) desaparecen, como se esperaba debido a la condición de adaptación de impedancia. En este caso, los valores propios se pueden calcular fácilmente a mano. Los valores propios para el caso ϕ = 0 pueden escribirse como:

donde \({\bar{\alpha }}^{\pm }={\bar{\alpha }}_{\varepsilon }\pm {\bar{\alpha }}_{\mu }\) es la suma ( + ) y diferencia ( − ) entre las modulaciones eléctrica y magnética, \({\bar{\alpha }}_{\varepsilon /\mu }=-{\alpha }_{\varepsilon /\mu }/(1 +2{\alpha }_{\varepsilon /\mu })\), kn = k + ng, \({{{\Delta }}}_{0}^{\rightleftharpoons }=[(\bar{g }-{\sigma }^{\rightleftharpoons }{{\Omega }})+{\bar{\alpha }}^{+}\bar{g}](\bar{g}-{\sigma }^{ \rightleftharpoons }{{\Omega }})\), mientras que σ⇀ = + 1 y σ↼ = −1 representan los modos de desplazamiento hacia adelante y hacia atrás. Tenga en cuenta que en el caso de impedancia adaptada tenemos \({\alpha }^{-}={\bar{\alpha }}^{-}=0\). En la Fig. 2 mostramos las bandas de propagación hacia adelante analíticas (líneas) y numéricas (triángulos/círculos para RHP/LHP) de primer y segundo orden, para mostrar su interacción, así como la banda de primer orden que se propaga hacia atrás. (que en este caso sólo interactúa débilmente con el tornillo) para valores crecientes de Ω. Los detalles de los cálculos numéricos de Floquet-Bloch se dan en el SM. A lo largo del artículo, utilizamos g = ε1 = μ1 = 1, de modo que la frecuencia de modulación temporal Ω corresponde numéricamente a la velocidad del tornillo vs, y nos referimos a ellas de manera equivalente. Aquí usamos αε = αμ = α = 0,4. Observe cómo las dos bandas muestran polarización circular opuesta en su armónico fundamental, que definimos como polarizado a la derecha (RHP, azul) o polarizado a la izquierda (LHP, rojo) según la convención de posición fija/tiempo variable.

Los diferentes paneles corresponden a frecuencia/velocidad de modulación creciente (a) Ω = 0, (b), Ω = 0,4, (c) Ω = 0,55 y (d) Ω = 0,7. Tenga en cuenta la atracción (c) entre las bandas RHP directas: como \({{\Omega }}\to {{{\Omega }}}_{crit}^{-}\approx 0.5556\), esta interacción da lugar a la Fase rota de PT, con bandas RHP complejas (las líneas discontinuas muestran los dos estados complejos ℜ[ω] ± ℑ[ω]) que se muestran para Ω = 0,7 en (d).

A bajas velocidades (ac), no hay bandas prohibidas presentes en este escenario de impedancia adaptada, como se esperaba. Observe cómo la primera y segunda bandas directas con la misma polarización se acercan entre sí a medida que Ω aumenta. De hecho, cuando Ω/g se acerca a un valor crítico \({{{\Omega }}}_{crit}^{-}=1/(1+2\alpha )\) se produce una transición (en este caso \( {{{\Omega }}}_{crit}^{-}=0.5556\)), con la apariencia de una banda prohibida diagonal, que alberga estados en crecimiento y en decadencia, delimitada por dos puntos excepcionales (d). Esta brecha inestable se cierra nuevamente en el valor crítico superior \({{{\Omega }}}_{crit}^{+}=1\). Estos límites se pueden mostrar fácilmente estudiando el argumento de la raíz cuadrada en los valores propios anteriores. Los pares complejos de estados en la fase inestable están marcados con una línea discontinua, ubicada en ℜ[ωn(k)] + ℑ[ωn(k)]. La aparición de una banda prohibida inestable dentro del régimen de impedancia adaptada es una característica peculiar de los sistemas luminales, que se ha señalado antes29. Sin embargo, el mecanismo de amplificación en trabajos anteriores no se manifestó como un par de puntos excepcionales separados por una fase rota de PT con valores propios complejos como en este caso, sino más bien en la generación de un supercontinuo. Por lo tanto, este es el primer caso en el que se produce una ruptura de la simetría del PT cerca del régimen luminal a pesar de la adaptación de impedancia, que normalmente se esperaría que evitara la formación de bandas prohibidas. Obsérvese, además, cómo esta inestabilidad sólo ocurre para una polarización circular, mientras que los estados con la polarización opuesta conservan valores propios reales.

En la Fig. 3 investigamos los cambios en las bandas en longitudes de onda largas a medida que variamos Ω entre los dos valores críticos \({{{\Omega }}}_{crit}^{-}\) y \({{{ \Omega }}}_{crit}^{+}\), que limita el régimen de velocidad dentro del cual se pueden encontrar estados complejos. Un rasgo característico de los medios espacio-temporales descubierto recientemente es su capacidad para ejercer un arrastre sobre la luz, en analogía con el arrastre de Fresnel ejercido por un medio en movimiento, pero con una mayor sintonizabilidad y con la posibilidad de modulación superluminal. Esta resistencia se manifiesta como una asimetría entre la velocidad de las ondas hacia adelante y hacia atrás en el límite de longitud de onda larga/baja frecuencia k ≪ g ∧ ω ≪ Ω. Al expandir Taylor los valores propios de ω(k) anteriores, podemos ver claramente que la contribución de primer orden: \({\omega }^{\rightleftharpoons }(k)=\pm (1+{\bar{\alpha } }^{+}/2)k+O({k}^{2})\) produce la misma velocidad para ambas direcciones de propagación y para ambas polarizaciones. Esta contribución de primer orden se representa como líneas negras de puntos en la Fig. 3, lo que nos ayuda a visualizar la resistencia óptica inducida por el tornillo como resultado de las contribuciones de orden superior. Es fácil ver cómo las ondas directas de ambas polarizaciones son arrastradas hacia atrás a medida que Ω aumenta hacia otro valor crítico clave \({{{\Omega }}}_{crit}^{0}=1+{\bar{\alpha }}^{+}/2\) (≈0,78 en paneles ac).

Las líneas continuas indican soluciones analíticas para las bandas LHP (roja) y RHP (azul) más bajas, y los puntos (LHP) y triángulos (RHP) de los colores respectivos corresponden a simulaciones numéricas. Los diferentes paneles corresponden a diferentes frecuencias de modulación (y velocidades) a través del régimen luminal (a) Ω = 0,65, (b) Ω = 0,7, (c) Ω = 0,75, (d) \({{\Omega }}={ {{\Omega }}}_{crit}^{0}=1+{\bar{\alpha }}^{+}/2\approx 0,78\), (e) Ω = 0,85 y (f) Ω = 0.9. Observe cómo los puntos excepcionales para las bandas RHP en el primer cuadrante llegan al origen de \({{\Omega }}={{{\Omega }}}_{crit}^{0}\), dando lugar a una banda ancha Fase quiral rota de PT. Además, en este punto crítico la resistencia óptica cambia el signo de negativo (opuesto al flujo de luz) a positivo.

Como \({{\Omega }}\to {{{\Omega }}}_{crit}^{0}\), sucede algo bastante espectacular: la velocidad de las ondas RHP y LHP primero tiende a cero cerca del origen. , las ondas son efectivamente detenidas por el tornillo, luego se vuelven negativas y tienden a - ∞, lo que implica que la resistencia óptica ahora se vuelve infinita y opuesta a la dirección del tornillo. Además, mientras los estados LHP permanecen estables, la inestabilidad que afecta a los modos RHP llega al origen, implicando una inestabilidad de ancho de banda ilimitado, de modo que el sistema ahora puede amplificar ondas RHP de cualquier frecuencia. Es importante enfatizar que, en marcado contraste con las inestabilidades luminales previamente estudiadas28,29, este mecanismo de amplificación preserva y amplifica la frecuencia original de una onda sin generar un supercontinuo, como mostramos más adelante en el artículo. Finalmente, para \({{{\Omega }}}_{crit}^{0} \, < \, {{\Omega }} \, < \, 1\), el arrastre cambia repentinamente de signo, tendiendo a + ∞ como \({{\Omega }}\to {{{\Omega }}}_{crit}^{0}\) desde arriba. Esto ocurre después de que el punto excepcional toca el origen, de modo que la rama opuesta exactamente PT ahora está fijada a él. Por lo tanto, las ondas hacia adelante ahora viajan más rápido que las hacia atrás, y el Tornillo ejerce una resistencia positiva sobre las ondas. Observe cómo las velocidades de las dos polarizaciones están unidas en el origen. Esto es una consecuencia de la simetría PT subyacente a este sistema: dado que una operación PT debe invertir las dos polarizaciones entre sí junto con los ejes k y ω, el requisito de que las bandas sean analíticas cerca del origen implica que sus pendientes deben ser idénticas. en su proximidad.

Con un poco más de álgebra, también podemos derivar la relación de dispersión de forma cerrada para el caso ϕ = π/4, que dice:

donde \({{{\Delta }}}_{\pi /4}={(\frac{{\bar{\alpha }}^{+}\bar{g}}{2})}^{2 }+{{{\Omega }}}^{2}\) y n es un número entero impar. Tenga en cuenta que en este caso el desplazamiento entre las modulaciones en \(\hat{\varepsilon }\) y \(\hat{\mu }\) implica que el sistema ya no tiene impedancia adaptada. Como resultado, las bandas prohibidas están presentes a cualquier velocidad del tornillo. En la Fig. 4 investigamos las bandas cercanas al origen mientras barremos diferentes frecuencias de modulación (velocidades) Ω para α = 0,4.

Como en el escenario anterior α = 0,4 y el esquema de color/marcador es idéntico. Los diferentes paneles corresponden a frecuencias (y velocidades) de modulación (a) Ω = 0.6665, (b) Ω = 0.7, (c) Ω = 0.75, (d) \({{\Omega }}=0.78\approx {{{ \Omega }}}_{crit}^{0}\), (e) Ω = 0,85 y (f) Ω = 0,9. Nótese la diferencia cualitativa con el caso ϕ = 0 en el carácter de las bandas complejas. Observe cómo las bandas prohibidas aquí son puramente verticales o puramente horizontales. Además, los k-gaps en este sistema aparecen por debajo del límite luminal, en contraste con todas las observaciones anteriores, donde solo aparecen en escenarios superluminales.

A pesar de haber cambiado solo el parámetro de desfase ϕ, notamos que las bandas son notablemente diferentes del caso emparejado, resaltando la riqueza y diversidad de la física en juego en este sistema. En primer lugar, observe cómo, a diferencia del caso ϕ = 0, aquí son las ondas hacia adelante las que apenas interactúan con el tornillo, mientras que las bandas hacia atrás están dramáticamente alteradas. En segundo lugar, observe cómo las bandas prohibidas aquí son ω-gaps y k-gaps convencionales, y no se observan espacios diagonales. La aparición de k-gaps es bien conocida en la literatura sobre medios que varían en el tiempo y es una firma de amplificación paramétrica. Sin embargo, los k-gaps sólo se han observado en regímenes superluminales, donde la modulación viaja más rápido que las ondas en el medio prístino. Por el contrario, este sistema es el primero estudiado (hasta donde saben los autores) en exhibir k-gaps a velocidades de modulación muy por debajo de c. Nuestra solución analítica nos permite calcular la velocidad exacta del tornillo \({{\Omega }}/g=\sqrt{1+{\bar{\alpha }}^{+}}\) a la que se abren los k-espacios ( punto excepcional), que en este caso es 0,7454. De manera similar al caso ϕ = 0, el segundo punto crítico está en \({{{\Omega }}}_{crit}^{0}=1+{\bar{\alpha }}^{+}/2\ ), y coincide con las bandas complejas positiva y negativa que se tocan en el origen (panel d). Tenga en cuenta que, simultáneamente con este punto crítico, la banda inestable ocurre precisamente en ω = 0 ya que los dos primeros términos en los valores propios más bajos se cancelan y la raíz cuadrada devuelve un número imaginario. Por lo tanto, este régimen alberga una inestabilidad en la DC. Una vez más, esta inestabilidad es de naturaleza quiral, ya que sólo una de las dos polarizaciones se ve afectada por ella, mientras que la otra sólo está sujeta a un arrastre óptico.

Para estudiar con más profundidad la pendiente asintótica de las bandas en longitudes de onda largas, en la Fig. 5 graficamos la velocidad de las ondas hacia adelante y hacia atrás en el límite k → 0 en función de la velocidad del tornillo, para ϕ = 0 (panel superior) y ϕ = π/4 (panel inferior), y para α = 0,4 (líneas y puntos continuos) y α = 0,1 (líneas discontinuas y de puntos). Para ϕ = 0 es evidente que las ondas directas son las únicas que se ven afectadas significativamente por el tornillo. A medida que Ω se acerca al valor crítico \({{{\Omega }}}_{crit}^{0}\), la velocidad de las ondas directas disminuye hasta el punto en que se vuelve negativa y tiende a − ∞ con una resonancia. perfil similar, como se esperaba de nuestra discusión de la Fig. 3. Esta divergencia y cambio de signo de la velocidad de longitud de onda larga ocurre en \({{\Omega }}=1+{\bar{\alpha }}^{+} /2\), y es común tanto para el caso ϕ = 0 como para el caso ϕ = π/4. Para el caso ϕ = π/4, la situación se invierte, con las ondas hacia atrás desacelerando con Ω y cambiando a ondas que viajan hacia adelante, divergiendo a la velocidad crítica anterior y resurgiendo como ondas hacia atrás rápidas nuevamente después de la transición. A partir de estos gráficos es aún más evidente observar cómo las dos polarizaciones (líneas para RHP, puntos para LHP, que se muestran solo para α = 0,4) comparten la misma velocidad en el origen, según nuestro argumento de simetría PT anterior.

Las líneas continuas y los círculos son para α = 0,4, mientras que las líneas discontinuas y de puntos son para α = 0,1, lo que demuestra la reducción del rango de velocidad en el que la interacción con el tornillo es más fuerte. Tenga en cuenta que para ϕ = 0 el tornillo interactúa significativamente sólo con las bandas delanteras, mientras que ocurre lo contrario para ϕ = π/4. Tenga en cuenta que las pendientes de las bandas RHP y LHP siempre están degeneradas en el límite k → 0, como consecuencia de la simetría PT. Las regiones sombreadas corresponden a regímenes de velocidad comprendidos entre los puntos excepcionales \({{{\Omega }}}_{crit}^{-}\) y \({{{\Omega }}}_{crit}^{+} \) (para el caso α = 0.4), mientras que el punto crítico \({{{\Omega }}}_{crit}^{0}\) (también para α = 0.4), común a ambos ϕ = 0 y ϕ = π/2 casos, está marcado con una línea discontinua negra.

Ahora dirigimos nuestra atención a las inestabilidades quirales observadas en el diagrama de bandas para ϕ = 0. En la Fig. 6 mostramos la apertura de la banda prohibida diagonal a medida que variamos Ω para α = 0,4 fijo (columna izquierda) y a medida que variamos α para Ω fijo = 0,6. Se puede ver claramente cómo, para las ondas RHP, las dos primeras bandas se atraen entre sí, para dar lugar a dos soluciones complejas dentro del intervalo, unidas por un par de puntos excepcionales, una característica bien conocida de la ruptura de la simetría PT55. De hecho, si bien el sistema bajo estudio solo se caracteriza por parámetros reales del material, su dependencia del tiempo permite la existencia de fases rotas de PT, donde el material puede amplificar las ondas entrantes. Fundamentalmente, la naturaleza quiral del tornillo óptico de Arquímedes implica que este sistema amplifica selectivamente las ondas RHP, como nos propusimos demostrar.

En la columna de la izquierda (ac) variamos Ω de 0,55 (a) a 0,57 (c) con un α fijo = 0,4 y en la columna de la derecha variamos α de 0,3 (d) a 0,4 (f) con un Ω fijo = 0,6 . Observe cómo ambos parámetros inducen la atracción entre las dos bandas que da lugar a la transición a la fase de PT roto.

En la Fig. 7 trazamos la transmisión de ondas planas entrantes polarizadas circularmente a través de una longitud finita d de tornillo óptico de Arquímedes trazando la figura de Lissajous descrita por un ciclo de la onda saliente como resultado del latido entre la frecuencia ω = 1 de las ondas entrantes y la frecuencia de rotación Ω del tornillo. Trazamos la parte real de las componentes x e y del campo eléctrico. Las columnas izquierda y derecha corresponden a las ondas de entrada LHP y RHP respectivamente. Para la entrada LHP, el panel superior considera Ω = 1, mientras que el panel inferior asume Ω = 0,5, y las curvas azul, roja, amarilla y violeta corresponden a diferentes espesores d = 0, 0,2π, 0,35π y 0,5π, elegidos para Ilustre el cambio en la figura de Lissajous resultante. Tenga en cuenta que, como era de esperar, el tiempo necesario para que las ondas completen un ciclo de la figura de Lissajous corresponde al tiempo de latido entre la frecuencia ω = 1 de las ondas entrantes y la del tornillo Ω.

La relación de conmensurabilidad entre los dos determina el número de lóbulos en la figura. Para la entrada RHP (ab), el tornillo puede amplificar las ondas a medida que se propagan a través de un espesor d. Por el contrario, una onda de entrada LHP (cd) no se amplifica, pero el latido adicional resulta del valor propio real distinto y adicional.

Para las ondas LHP, la interacción entre la onda entrante y dos estados propios reales simplemente da como resultado cifras de Lissajous para las ondas salientes, cuya complejidad aumenta con el mínimo común múltiplo entre las dos frecuencias ω y Ω, y no se logra ninguna ganancia neta. Esta imagen cambia dramáticamente para las ondas RHP: ahora los dos estados que la onda entrante se acopla para compartir la misma parte real, lo que resulta en patrones de latidos más simples. Sin embargo, la parte imaginaria de los valores propios pronto provoca una amplificación neta de las ondas salientes a medida que d aumenta, una firma de la naturaleza quiral de este proceso de amplificación. Observe cómo las curvas correspondientes a valores crecientes de d = 0, π/2, π y 3π/2 dan como resultado que el campo eléctrico adquiera valores cada vez mayores, alejándose las curvas del origen. El panel superior derecho corresponde a Ω = 1 y el inferior a Ω = 0,75.

Finalmente, para investigar más a fondo el mecanismo de amplificación subyacente en funcionamiento, en la Fig. 8 trazamos el módulo del componente x del campo eléctrico en función del tiempo, durante un período 2π/Ω del tornillo. Consideramos ondas entrantes de frecuencia ω = 1, frecuencia de tornillo temporal Ω = 0,8 y desfase ϕ = 0. El panel (a) muestra la dinámica del campo transmitido en la fase estable para α = 0,05 pequeño. La interacción con el tornillo provoca un latido entre ambos, con un intercambio periódico de energía entre el tornillo y las ondas, cuya extensión oscila periódicamente con el espesor d del tornillo. Por el contrario, el panel (b) muestra los resultados para el caso inestable α = 0,4, donde las ondas entrantes excitan los estados inestables en la fase rota del PT.

En la fase estable, el tornillo no es capaz de captar la polarización de la onda, lo que provoca oscilaciones periódicas. En la fase inestable, la polarización de la onda está entrelazada con la del tornillo, que así puede captar la polarización de las ondas y amplificarlas a medida que se propagan a través de ella. Aquí usamos ω = 1, Ω = 0,8, g = 1 y ϕ = 0.

La orientación de la polarización de la luz es crucial para su acoplamiento a una rejilla en movimiento y para determinar si extrae o entrega energía a la rejilla. A velocidades de rejilla bajas y altas, la onda de polarización viaja a una velocidad marcadamente diferente de la de la rejilla y se desplaza a través de regiones que se amplifican y atenuan alternativamente. El intercambio de energía oscila hacia arriba y hacia abajo, pero su promedio es cero y las reglas de simetría PT. Por otro lado, cuando las dos velocidades son comparables, la polarización tiene un medio para fijar su velocidad a la de la rejilla: puede elegir una orientación tal que la velocidad local, determinada por su superposición con la rejilla, sea igual a la de la rejilla. la rejilla, manteniendo así su orientación relativa a medida que se mueven juntos, como lo demuestra la Fig. 8b. Hay dos orientaciones en las que esto podría suceder; uno está en la región de ganancia y el otro en la región de pérdida. Esto da lugar a la banda prohibida que se ve en la figura 6, donde tenemos dos soluciones, una gana energía en el tiempo y la otra la pierde. Este mecanismo sólo es posible en un rango de velocidades dictado por la amplitud de la rejilla. Sostenemos que este agarre de la luz para elevar su nivel de energía es análogo a la función de un tornillo de Arquímedes al elevar el nivel del agua. Vale la pena señalar que, aunque el problema es matemáticamente más manejable en el caso de impedancia adaptada, este efecto de amplificación no depende de que tanto ε como μ sean modulados. En la Figura 1 complementaria demostramos esto, mostrando el caso en el que solo se modula ε, como se logra más fácilmente en experimentos con sonda de bomba.

En este trabajo introdujimos metamateriales quirales de espacio-tiempo como un análogo electromagnético del Tornillo de Arquímedes para fluidos, investigando las propiedades exóticas de sus bandas fotónicas mediante el desarrollo de un modelo analítico que descubrió soluciones exactas de forma cerrada a las ecuaciones de Maxwell, con las que comparamos cálculos numéricos que muestran una concordancia perfecta. Además, investigamos las inestabilidades que surgen en estos sistemas y demostramos su capacidad para amplificar la luz de una polarización específica. La riqueza del modelo presentado ofrece muchas oportunidades para una mayor investigación del amplio espacio de parámetros disponible, y la combinación de dependencia del tiempo y quiralidad hace de esta nueva dirección un terreno prometedor para futuros estudios de física topológica y no hermitiana, y prevemos que gran parte de la física en juego ya se puede probar en óptica con experimentos de sonda de bomba en materiales épsilon cercanos a cero altamente no lineales, y en RF con inductores y condensadores no lineales.

Los detalles completos sobre todos los métodos analíticos y numéricos utilizados están disponibles gratuitamente en la Información complementaria y no se pudieron incluir en el manuscrito principal debido a limitaciones de formato.

Los datos principales que respaldan los hallazgos de este estudio están disponibles en el artículo y en sus archivos de información complementaria. Todos los datos brutos generados en este estudio están disponibles a través de los autores correspondientes previa solicitud razonable. Las solicitudes serán tramitadas por EG en un plazo máximo de dos semanas. Los datos se proporcionarán bajo garantía de reconocimiento/cita apropiada de este trabajo y un motivo de solicitud científicamente sólido.

Todos los códigos de análisis de datos relacionados con este estudio están disponibles a través de los autores correspondientes previa solicitud razonable. Las solicitudes serán tramitadas por EG en un plazo máximo de dos semanas. Los códigos utilizados para producir los datos se proporcionarán bajo garantía de reconocimiento/cita apropiada de este trabajo y un motivo de solicitud científicamente sólido.

Se ha publicado una corrección a este artículo: https://doi.org/10.1038/s41467-022-32352-7

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EG reconoce la financiación del EPSRC a través del Centro de Formación Doctoral en Teoría y Simulación de Materiales (Subvención No. EP/L015579/1), una Beca del Premio de Doctorado EPSRC (Subvención No. EP/T51780X/1) y una Beca Junior de la Sociedad de becarios Simons (855344, EG). PAH reconoce la financiación de la Fundação para a Ciência ea Tecnologia y el Instituto de Telecomunicações en los proyectos HelicalMETA, UIDB/50008/2020 y el programa CEEC Individual con referencia CEECIND/02947/2020. JBP agradece la financiación de la Fundación Gordon y Betty Moore.

Centro de Investigación Científica Avanzada, Universidad de la Ciudad de Nueva York, 85 St. Nicholas Terrace, Nueva York, NY, 10031, EE. UU.

Emanuele Galiffi

Instituto de Telecomunicaciones, Instituto Superior Técnico-Universidad de Lisboa, Avenida Rovisco Pais 1, 1049-001, Lisboa, Portugal

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Laboratorio Blackett, Departamento de Física, Imperial College London, South Kensington Campus, Londres, SW7 2AZ, Reino Unido

JB Pendry

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JBP diseñó el proyecto, EG llevó a cabo cálculos analíticos y numéricos, PAH y JBP supervisaron el proyecto, EG redactó el manuscrito inicial y todos los autores contribuyeron a la versión final del artículo.

Correspondencia a Emanuele Galiffi o JB Pendry.

Los autores declaran no tener conflictos de intereses.

Nature Communications agradece a Simon Horsley y a los demás revisores anónimos por su contribución a la revisión por pares de este trabajo. Los informes de los revisores pares están disponibles.

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Reimpresiones y permisos

Galiffi, E., Huidobro, PA & Pendry, JB Un tornillo de Arquímedes para la luz. Nat Comuna 13, 2523 (2022). https://doi.org/10.1038/s41467-022-30079-z

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Recibido: 18 de octubre de 2021

Aceptado: 11 de abril de 2022

Publicado: 09 de mayo de 2022

DOI: https://doi.org/10.1038/s41467-022-30079-z

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